Як знайти спільне рішення диференціального рівняння?

Загальне рішення ДУ будь-якого порядку складати зовсім нема чого. Воно утворюється само собою, якщо в процесі його отримання не використовувалися початкові або крайові умови. Інша справа, якщо певного рішення не було, і вони вибиралися за заданими алгоритмами, отриманим на основі теоретичних відомостей. Саме так і відбувається, якщо мова йде про лінійних ДУ з постійним коефіцієнтами n-го порядку.

Лінійне однорідне ДУ (ЛОДР) n-го порядку має вигляд (див. Рис. 1) .Якщо його ліву частину позначити як лінійний диференційний оператор L [y], то ЛОДР перепишеться у вигляді L [y] = 0, і L [y ] = f (x) - для лінійного неоднорідного диференціального рівняння (ЛНДУ).

Якщо шукати рішення ЛОДР у вигляді y = exp (k x), то y `= k exp (k x), y` `= (k ^ 2) exp (k x), ..., y ^ ( n-1) = (k ^ (n-1)) exp (k x), y ^ n = (k ^ n) exp (k x). Після скорочення на y = exp (k x), ви прийдете до рівняння: k ^ n + (a1) k ^ (n-1) + ... + a (n-1) k + an = 0, званому характеристичним. Це просте алгебраїчне рівняння. Таким чином, якщо k - корінь характеристичного рівняння, то функція y = exp [k x] - рішення ЛОДР.

Рівняння алгебри n-го ступеня має n коренів (з урахуванням кратних і комплексних). Кожному матеріальному корені ki кратності «один» відповідає функція y = exp [(ki) x], тому, якщо всі вони дійсні і різні, то з урахуванням того, що будь-яка лінійна комбінація цих експонент теж є рішенням, можна скласти загальне рішення ЛОДР: y = C1 exp [(k1) x] + C2 exp [(k2) x] + ... + Cn exp [(kn) x].

У загальному випадку, серед рішень характеристичного рівняння можуть перебувати речові кратні і комплексно пов`язані коріння. При побудові спільного рішення у зазначеній ситуації обмежтеся ЛОДР другого порядку. Тут можливе отримання двох коренів характеристичного рівняння. Нехай це буде комплексно сполучена пара k1 = p + i q і k2 = p-i q. Застосування експонент з такими показниками дасть комплексно-значні функції при вихідному рівнянні з дійсними коефіцієнтами. Тому їх перетворять за формулою Ейлера і призводять до виду y1 = exp (p x) sin (q x) і y2 = exp (p x) cos (q x). Для випадку одного речового кореня кратності r = 2 використовують y1 = exp (p x) і y2 = x exp (p x).

Остаточний алгоритм. Потрібно скласти загальне рішення ЛОДР другого порядку y `` + a1 y `+ a2 y = 0.Составьте характеристичне рівняння k ^ 2 + a1 k + a2 = 0.Еслі воно має дійсні корені k1 k2, то його спільне рішення виберіть у вигляді y = C1 exp [(k1) x] + C2 exp [(k2) x] .Якщо є один дійсний корінь k, кратності r = 2, то y = C1 exp [k x] + C2 x exp [k2 x] = exp [k x] (C1 + C2 x exp [k x]). Якщо є комплексно сполучена пара коренів k1 = p + i q і k2 = pi q, то відповідь запишіть у вигляді y = C1 exp (p x) sin (q x) ++ C2 exp (p x) cos (q x).