Як вирішувати рівняння з параметрами

Найпростіший тип завдань з параметрами - завдання на квадратний тричлен A · x + B · x + C. Параметричної величиною може стати будь-який з коефіцієнтів рівняння: A, B або C. Знайти корені квадратного тричлена для кожного з значень параметра - значить вирішити квадратне рівняння A · x + B · x + C = 0, перебравши кожне з можливих значень нефіксованим величини.

В принципі, якщо в рівнянні A · x + B · x + C = 0 є параметром старший коефіцієнт A, то воно буде квадратним лише тоді, коли A 0. При A = 0 воно вироджується в лінійне рівняння B · x + C = 0, має один корінь: x = -C / B. Тому перевірка умови A 0, A = 0 повинна йти першим пунктом.

Квадратне рівняння має дійсні корені при неотрицательную дискримінант D = B -4 · A · C. При D> 0 воно має два різних кореня, при D = 0 тільки один. Нарешті, якщо D

Часто для вирішення завдань з параметрами застосовується теорема Вієта. Якщо квадратне рівняння A · x + B · x + C = 0 має корені x1 і x2, то для них вірна система: x1 + x2 = -B / A, x1 · x2 = C / A. Квадратне рівняння зі старшим коефіцієнтом, рівним одиниці, називається наведеним: x + M · x + N = 0. Для нього теорема Вієта має спрощений вигляд: x1 + x2 = -M, x1 · x2 = N. Варто зазначити, що теорема Вієта вірна при наявності як одного, так і двох коренів.

Ті ж коріння, знайдені за допомогою теореми Вієта, можна підставити назад в запис рівняння: x - (x1 + x2) · x + x1 · x2 = 0. Не плутайте: тут x - змінна, x1 і x2 - конкретні числа.

Часто допомагає при вирішенні метод розкладання на множники. Нехай рівняння A · x + B · x + C = 0 має корені x1 і x2. Тоді вірно тотожність A · x + B · x + C = A · (x-x1) · (x-x2). Якщо корінь єдиний, то можна просто сказати, що x1 = x2, і тоді A · x + B · x + C = A · (x-x1) .

Приклад. Знайдіть всі числа p і q, при яких корені рівняння x + p · + q = 0 рівні p і q.Рішення. Нехай p та q задовольняють умові завдання, тобто, є корінням. Тоді по теоремі Вієта: p + q = -p, pq = q.

Система еквівалентна сукупності p = 0, q = 0, або p = 1, q = -2. Тепер залишилося провести перевірку - переконатися, що отримані числа дійсно задовольняють умові завдання. Для цього потрібно просто підставити числа в вихідне рівняння.відповідь: p = 0, q = 0 або p = 1, q = -2.