Як вирішувати рівняння з корінням

На відміну від інших типів рівнянь, наприклад, квадратних або систем лінійних рівнянь, для вирішення рівнянь з корінням, або точніше, ірраціональних рівнянь, не існує стандартного алгоритму. У кожному конкретному випадку необхідно підібрати найбільш підходящий метод вирішення, виходячи з «зовнішнього вигляду" і особливостей рівняння.

Зведення частин рівняння в однаковий ступінь.

Відео - Ірраціональні рівняння # 1

Найчастіше для вирішення рівнянь з корінням (ірраціональних рівнянь) застосовується зведення обох частин рівняння в одну і ту ж ступінь. Як правило, в ступінь, рівну ступеня кореня (в квадрат для кореня квадратного, в куб для кореня кубічного). При цьому слід мати на увазі, що при зведенні лівої і правої частини рівняння в парну ступінь у нього можуть з`явитися «зайві» коріння. Тому, в цьому випадку слід перевіряти отримані коріння шляхом підстановки їх у рівняння. Особлива увага при вирішенні рівнянь з квадратними (парними) корінням слід приділити області допустимих значень змінної (ОДЗ). Іноді однієї лише оцінки ОДЗ достатньо для вирішення або істотного «спрощення» рівняння.

Приклад. Вирішити рівняння:

Відео - Рішення рівнянь з корінням

(5х-16) = х-2

Зводимо обидві частини рівняння в квадрат:

( (5х-16)) = (х-2) , звідки послідовно отримуємо:

5х-16 = х -4х + 4

х -4х + 4-5х + 16 = 0

х -9х + 20 = 0

Вирішуючи отримане квадратне рівняння, знаходимо його корені:

х = (9 ± (81-4 * 1 * 20)) / (2 * 1)

х = (9 ± 1) / 2

х1 = 4, х 2 = 5

Підставивши обидва знайдених кореня у вихідне рівняння, отримуємо правильне рівність. Отже обидва числа є рішеннями рівняння.

Метод введення нової змінної.

Іноді знайти коріння «рівняння з корінням» (ірраціонального рівняння) зручніше методом введення нових змінних. Фактично, суть цього методу зводиться просто до більш компактного запису рішення, тобто замість того, щоб кожен раз писати громіздке вираження, його замінюють умовними позначеннями.

Приклад. Вирішити рівняння: 2х + х-3 = 0

Можна вирішити дане рівняння і зведенням обох частин в квадрат. Однак, самі обчислення при цьому будуть виглядати досить-таки громіздко. При введенні нової змінної процес вирішення вийде набагато елегантніше:

Введемо нову змінну: у = х

Після чого отримуємо звичайне квадратне рівняння:

Відео - ЄДІ з математики 2015 Як вирішувати С3 рівняння з корінням

2у + в-3 = 0, зі змінною у.

Вирішивши отримане рівняння, знаходимо два кореня:

Відео - Формула коренів квадратного рівняння

в1 = 1 і у2 = -3 / + 2,

підставляючи знайдені коріння в вираз для нової змінної (у), отримуємо:

Відео - Система ірраціональних рівнянь # 1

х = 1 і х = -3 / 2.

Так як значення квадратного кореня не може бути негативним числом (якщо не зачіпати область комплексних чисел), то отримуємо єдине рішення:

х = 1.