Як вирішувати системи лінійних рівнянь

Метод підстановки або послідовного ісключенія.Подстановку використовують в системі з невеликою кількістю невідомих. Це найпростіший метод вирішення для нескладних систем. Спочатку з першого рівняння висловлюємо одне невідоме через інші, підставляємо це вираз у друге рівняння. Висловлюємо з перетвореного другого рівняння друге невідоме, підставляємо отримане в третє рівняння і т.д. до тих пір, поки не обчислимо останнім невідоме. Потім підставляємо його значення в попереднє рівняння і дізнаємося передостаннє невідоме і т.д. Розглянемо приклад системи з двома неізвестнимі.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Висловимо з першого рівняння x: x = 3 - y. Підставимо в друге рівняння: 2 (3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2y - y - 3 = 0
3 - 3y = 0
y = 1
Підставляємо в перше рівняння системи (Або в вираз для x, що одне й те саме): x + 1 - 3 = 0. Отримаємо, що x = 2.

Метод почленного віднімання (або додавання) .Цей метод часто дозволяє скоротити час вирішення системи і спростити обчислення. Полягає він у тому, щоб проаналізувавши коефіцієнти при невідомих таким чином скласти (або відняти) рівняння системи, щоб виключити частину невідомих з рівняння. Розглянемо приклад, візьмемо ту ж систему, що і в першому методі.
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Легко бачити, що при y стоять однакові по модулю коефіцієнти, але з різним знаком, тому якщо ми складемо два рівняння почленно, то yдастся виключити y. Виконаємо додавання: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 або 3x - 6 = 0. Таким чином, x = 2. Підставивши це значення в будь-яке рівняння, знайдемо y.
Можна, навпаки, виключити x. Коефіцієнти при x однакові по знаку, тому будемо віднімати одне рівняння з іншого. Але в першому рівнянні коефіцієнт при x - 1, а в другому - 2, тому просто вирахуванням не вдасться виключити x. Помножимо перше рівняння на 2, отримаємо таку систему:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
Тепер почленно віднімемо з першого рівняння друге: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 або, привівши подібні, 3y - 3 = 0. Таким чином y = 1. Підставивши в будь-яке рівняння, знайдемо x.