Як визначити тип диференціального рівняння

Якщо рівняння представлено у вигляді: dy / dx = q (x) / n (y), відносите їх до категорії диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними. Їх можна вирішити, записавши умову в диференціалах за наступною схемою: n (y) dy = q (x) dx. Потім проінтегріруйте обидві частини. У деяких випадках рішення записується у вигляді інтегралів, взятих від відомих функцій. Наприклад, в разі dy / dx = x / y, вийде q (x) = x, n (y) = y. Запишіть його у вигляді ydy = xdx і проінтегріруйте. Має вийти y ^ 2 = x ^ 2 + c.

До лінійним рівнянням відносите рівняння «першого ступеня». Невідома функція з її похідними входить в подібне рівняння лише в першого ступеня. Лінійне диференціальне рівняння має вигляд dy / dx + f (x) = j (x), де f (x) і g (x) - функції, що залежать від x. Рішення записується за допомогою інтегралів, взятих від відомих функцій.

Врахуйте, що багато диференціальні рівняння - це рівняння другого порядку (що містять другі похідні) Таким, наприклад, є рівняння простого гармонійного руху, записане у вигляді загальної формули: md 2x / dt 2 = -kx. Такі рівняння мають, в основному, приватні рішення. Рівняння простого гармонійного руху є прикладом досить важливого класу: лінійних диференціальних рівнянь, у яких є постійний коефіцієнт.

Розгляньте більш загальний приклад (другого порядку): рівняння, де у і z - є заданими постійними, f (x) - задана функція. Подібні рівняння можна вирішити різними способами, наприклад, за допомогою інтегрального перетворення. Це ж саме можна сказати і про лінійні рівняння вищих порядків, що мають постійні коефіцієнти.

Звертаємо увагу, що рівняння, які містять невідомі функції, а також їх похідні, які стоять в ступеня вище першої, називаються нелінійними. Рішення нелінійних рівнянь досить складні і тому, для кожного з них використовується свій окремий випадок.