Як визначити вид диференціального рівняння

Необхідність в диференціальних рівняннях виникає тоді, коли відомі властивості функції, а сама вона залишається невідомою величиною. Часто така ситуація виникає при дослідженні фізичних процесів. Властивості функції описуються її похідними або диференціалом, тому єдиним способом її знаходження є інтегрування. Перш ніж приступати до вирішення, потрібно визначити вид диференціального рівняння.

Існує кілька видів диференціальних рівнянь, найпростішим з них є вираз у `= f (х), де у` = dу / d х. Крім того, до цього виду може бути приведено рівність f (х) • у `= g (х), тобто у `= g (х) / f (х). Зрозуміло, це можливо тільки за умови, що f (х) не звертається до нуль. Приклад: 3 ^ х • у `= х - 1 у` = (х - 1) / 3 ^ х.

Диференціальні рівняння з розділеними змінними називаються так тому, що похідна у `в даному випадку буквально розділена на дві складові dу і d х, які знаходяться по різні боки від знака одно. Це рівняння виду f (у) • dу = g (х) • d х. Приклад: (у - sin у) • dу = tg х / (х - 1) • d х.

Два описаних виду диференціальних рівнянь звуться звичайних або скорочено ОДУ. Однак рівняння першого порядку можуть бути і більш складними, неоднорідними. Вони називаються ЛНДУ - лінійні неоднорідні рівняння у `+ f (х) • у = g (х).
До ЛНДУ відноситься, зокрема, рівняння Бернуллі у `+ f (х) • у = g (х) • у ^ a. Приклад: 2 • у `- х • у = (ln х / х ) • у . А також рівняння в повних диференціалах f (х, у) d х + g (х, у) dу = 0, де fх (х, у) / у = gу (х, у) / х. Приклад: (х - 2 • х • у) d х - х dу = 0, де х - 2 • х • у - приватна похідна по х від функції • х ^ 4 - х • у + C, а (-х ) - її похідна по у.

Найпростішим видом ОДУ другого порядку є у `` + p • у `+ q • у = 0, де p і q - постійні коефіцієнти. ЛНДУ другого порядку - це ускладнена версія ОДУ, а саме у `` + p • у `+ q • у = f (х). Приклад: у `` - 5 • у `+ 13 • у = sin х. Якщо p і q - функції аргументу х, то рівняння може виглядати приблизно так: у `` - 5 • х • у `+ 13 • (х - 1) • у = sin х.

Диференціальні рівняння вищих порядків поділяються на три підвиди: допускають зниження порядку, рівняння з постійними коефіцієнтами і з коефіцієнтами у вигляді функцій аргументу х:

• Вираз f (х, у ^ (m), у ^ (m + 1), ..., у ^ (n)) = 0 не містить похідних нижче порядку m, значить, через заміну z = у ^ (m) можна зменшити порядок. Тоді рівняння перетворюється в вид f (х, z, z `, ..., z ^ (n - m)) = 0. Приклад: у` `` • х - 4 • у = у `- 2 z` `• х - 4 • у = z - 2, де z = у `= dу / dх-
• ЛОДР у ^ (k) + p_ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 • у `+ p0 • у = 0 і ЛНДУ у ^ (k) + p_ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 • у `+ p0 • у = f (х) з постійними коефіцієнтами pi. Приклади: у ^ (3) + 2 • у `` - 15 • у `+ 3 • у = 0 і у ^ (3) + 2 • у` `- 15 • у` + 3 • у = 2 • х - ln х-
• ЛОДР у ^ (k) + p (х) _ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 (х) • у `+ p0 (х) • у = 0 і ЛНДУ у ^ ( k) + p (х) _ (k-1) • у ^ (k-1) + ... + p1 (х) • у `+ p0 (х) • у = f (х) з коефіцієнтами-функціями pi (х ). Приклади: у `` `+ 2 • х • у` `- 15 • arсsin х • у` + 9 • х • у = 0 і у `` `+ 2 • х • у` `- 15 • arcsin х • у `+ 9 • х • у = 2 • х - ln х.

Вид конкретного диференціального рівняння не завжди буває очевидним. Тоді слід уважно розглянути його на предмет приведення до одного з канонічних типів, щоб застосувати відповідний спосіб вирішення. Зробити це можна різними методами, найбільш поширеними з них є заміна і розкладання похідною на складові у `= dу / d х.