Як вирішувати диференціальне рівняння

Диференціальне числення досліджує властивості функцій. І навпаки, інтегрування функції дозволяє за даними властивостями, тобто похідним або диференціалом функції знайти її саму. В цьому і полягає рішення диференціального рівняння.

Будь-яке рівняння є співвідношенням між невідомою величиною і відомими даними. У разі диференціального рівняння роль невідомого грає функція, а роль відомих величин - її похідні. Крім цього, співвідношення може містити незалежну змінну: F (x, y (x), y `(x), y` `(x), ..., y ^ n (x)) = 0, де x - невідома змінна, y (x) - функція, яку потрібно визначити, порядок рівняння - це максимальний порядок похідної (n).

Таке рівняння називається звичайним диференціальним рівнянням. Якщо ж в співвідношенні кілька незалежних змінних і приватні похідні (диференціали) функції по цим змінним, то рівняння називається диференціальним рівнянням з приватними похідними і має вигляд: x z / y - z / x = 0, де z (x, y) - шукана функція.

Отже, щоб навчитися вирішувати диференціальні рівняння, необхідно вміти знаходити первісні, тобто вирішувати завдання, зворотний диференціювання. Наприклад: Розв`яжіть рівняння першого порядку y `= -y / x.

РешеніеЗаменіте y `на dy / dx: dy / dx = -y / x.

Наведіть рівняння до виду, зручного для інтегрування. Для цього помножте обидві частини на dx і розділіть на y: dy / y = -dx / x.

Проінтегріруйте: int-dy / y = - int-dx / x + Сln | y | = - ln | x | + C.

Уявіть константу в вигляді натурального логарифма C = ln | C |, тоді: ln | xy | = Ln | C |, звідки xy = C.

Це рішення називається загальним рішенням диференціального рівняння. С - це константа, безліч значень якої визначає безліч рішень рівняння. При будь-якому конкретному значенні З рішення буде єдиним. Таке рішення є приватним рішенням диференціального рівняння.