Як вирішувати системи рівнянь

Розглянемо методи вирішення системи рівнянь на прикладі системи з двох лінійних рівнянь, мають два невідомих значення. У загальному вигляді така система записується таким чином (зліва рівняння об`єднуються фігурною дужкою):

aх + bу = c

d х + eу = f, де

а, b, c, d, е, f - коефіцієнти (конкретні числа), а х і у, як зазвичай - невідомі. Числа а, b, с, d називаються коефіцієнтами при невідомих, а з і f - вільними членами. рішення такої системи рівнянь знаходиться двома основними методами.

Рішення системи рівнянь методом підстановки.

1. Беремо перше рівняння і висловлюємо одне з невідомих (х) через коефіцієнти і інше невідоме (у):

х = (з-by) / a

2. Підставляємо отримане для х вираз в друге рівняння:

d (c-by) / a + ey = f

3. Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо вираз для у:

у = (af-cd) / (ae-bd)

4. Підставляємо отриманий вираз для у в вираз для х:

х = (се-bf) / (ae-bd)

Приклад: потрібно вирішити систему рівнянь:

3х-2у = 4

х +3 у = 5

Знаходимо значення х з першого рівняння:

х = (2у + 4) / 3

Підставляємо отриманий вираз в друге рівняння і отримуємо рівняння з однією змінною (у):

(2у + 4) / 3 + 3у = 5, звідки отримуємо:

у = 1

Тепер підставляємо знайдене значення у в вирази для змінної х:

х = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Відповідь: х = 2, у = 1.

Рішення системи рівнянь методом складання (вирахування).

Цей метод зводиться до множення обох частин рівнянь на такі числа (параметри), щоб в результаті коефіцієнти у одній з змінних збіглися (можливо з протилежним знаком).

У загальному випадку, обидві частини першого рівняння потрібно помножити на (-d), а обидві частини другого рівняння на а. В результаті отримуємо:

-аdx-bdу = -сd

adx + aey = af

Склавши отримані рівняння, отримаємо:

-bdу + аеу = -сd + АF,

звідки отримуємо вираз для змінної у:

у = (af-cd) / (ae-bd),

підставляючи вираз для у в будь-яке рівняння системи, отримуємо:

ах + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

з цього рівняння знаходимо другого невідоме:

х = (се-bf) / (ae-bd)

Приклад. Вирішити методом додавання або віднімання систему рівнянь:

Відео - "Різні способи вирішення систем рівнянь Алгебра 9 клас"

3х-2у = 4

х +3 у = 5

Помножимо перше рівняння на (-1), а друге на 3:

-3х + 2у = -4

Відео - "Рішення систем рівнянь методом складання"

3х + 9У = 15

Склавши (почленно) обидва рівняння, отримуємо:

11у = 11

Звідки отримуємо:

у = 1

Підставляємо отримане значення для у в будь-який з рівнянь, наприклад, у другу, отримуємо:

3х + 9 = 15, звідки

х = 2

Відповідь: х = 2, у = 1.