Як вирішувати рівняння вищих ступенів

Найбільш поширеним методом вирішення рівнянь вищих ступенів є розкладання на множники. Цей підхід є комбінацією підбору цілочисельних коренів, подільників вільного члена, і подальший поділ загального многочлена на двочлен виду (x - x0).

Наприклад, вирішите рівняння x ^ 4 + xsup3- + 2middot-x - x - 3 = 0.Решеніе.Свободним членом даного многочлена є -3, отже, його цілочисельними дільниками можуть бути числа ± 1 і ± 3. Підставте їх по черзі в рівняння і з`ясуйте, чи вийде тотожність: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

Отже, перший же можливий корінь дав правильний результат. Розділіть многочлен рівняння на (x - 1). Розподіл многочленів виконується стовпчиком і відрізняється від звичайного поділу чисел тільки наявністю змінної.

Перепишіть рівняння в новому вигляді (x - 1) middot- (xsup3- + 2middot-x + 4middot-x + 3) = 0. Найбільша ступінь многочлена зменшилася до третьої. Продовжіть підбір коренів уже для кубічного многочлена: 1: 1 + 2 + 4 + 3 0--1: -1 + 2 - 4 + 3 = 0.

Другий корінь x = -1. Поділіть кубічний многочлен на вираз (x + 1). Запишіть вийшло рівняння (x - 1) middot- (x + 1) middot- (x + x + 3) = 0. Ступінь знизилася до другої, отже, рівняння може мати ще два кореня. Щоб знайти їх, вирішите квадратне рівняння: x + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

Дискримінант - негативна величина, значить, дійсних коренів у рівняння більше немає. Знайдіть комплексні корені рівняння: x = (-2 + imiddot- 11) / 2 і x = (-2 - imiddot- 11) / 2.

Запишіть відповідь: x1,2 = ± 1 x3,4 = -1/2 ± imiddot- 11 / 2.

Інший метод рішення рівняння надзвичайно - заміна змінних для приведення його до квадратному. Такий підхід використовується, коли всі ступені рівняння парні, наприклад: x ^ 4 - 13middot-x + 36 = 0

Це рівняння називається біквадратним. Щоб привести його до квадратному, зробіть заміну y = x . Тоді: y - 13middot-y + 36 = 0D = 169 - 4middot-36 = 25y1 = (13 + 5) / 2 = 9-y2 = (13 - 5) / 2 = 4.

Тепер знайдіть коріння вихідного рівняння: x1 = 9 = ± 3 x2 = 4 = ± 2.