Як привести до канонічного виду рівняння

рівняння плоскої кривої другого порядку має вигляд: A x ^ 2 + B x y + C y ^ 2 + 2D x + 2E y + F = 0. (1) При цьому коефіцієнти A, B і С не рівні нулю одночасно. Якщо В = 0, то весь сенс завдання приведення до канонічного виду зводиться до паралельного переносу системи координат. Алгебраїчно - це виділення повних квадратів у вихідному рівнянні.

При В не дорівнює нулю канонічне рівняння можна отримати лише при підстановках, фактично означають поворот системи координат. Розгляньте геометричний спосіб (див. Рис. 1). Ілюстрація на рис. 1 дозволяє зробити висновок, що x = u cos - v sin , y = u sin + v cos .

Подальші докладні і громіздкі викладки опущені. У нових координатах v0u потрібно мати коефіцієнт загального рівняння кривої другого порядку B1 = 0, що досягається вибором кута . Зробіть це на основі рівності: 2B cos2 = (A-C) sin2 .

Подальше рішення зручніше проводити на конкретному прімере.Прімер. Перетворити до канонічного виду рівняння x ^ 2 + x y + y ^ 2-3 x-6y + 3 = 0.Решеніе. Випишіть значення коефіцієнтів рівняння (1): A = 1, 2B = 1, C = 1, 2D = -3, 2E = -6, F = 3.Найдіте кут повороту . Тут cos2 = 0 і отже sin = 1 / 2, cos = 1 / 2.Запішіте формули перетворення координат: x = (1 / 2) u- (1 / 2) v, y = (1 / 2) u + (1 / 2) v.

Підставте останнім в умову задачі. Отримайте: [(1 / 2) u- (1 / 2) v] ^ 2 + [(1 / 2) u- (1 / 2) v] [(1 / 2 ) u + (1 / 2) v] + [(1 / 2) u + (1 / 2) v] ^ 2-3 [(1 / 2) u- (1 / 2 ) v] -6 [(1 / 2) u + (1 / 2) v] + + 3 = 0, звідки 3u ^ 2 + v ^ 2-9 2 u + 3 2 v + 6 = 0.

Для паралельного перенесення системи координат u0v, виділіть повні квадрати і получіте3 (u-3 / 2) ^ 2-27 / 2 + (v + 3 / 2) ^ 2-9 / 2 + 6 = 0. Позначте X = u-3 / 2, Y = v + 3 / 2. У нових координатах рівняння має вигляд 3X ^ 2 + Y ^ 2 = 12 або X ^ 2 / (2 ^ 2) + Y ^ 2 / ((2 3) ^ 2). Це еліпс.