Як вирішувати тригонометричні рівняння

Рішення таких рівняння складається з двох етапів.

Перше - перетворення рівняння для отримання його найпростішого виду. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються такі: Sinx = a- Cosx = a і т.д.

Друге - це рішення отриманого найпростішого тригонометричного рівняння. Існує основні методи розв`язання рівнянь такого виду:

Рішення алгебраїчним методом. Цей метод добре відомий зі школи, з курсу алгебри. Інакше називають методом заміни змінної і підстановки. Використовуючи формули приведення, перетворимо, робимо заміну, після чого знаходимо коріння.

Розкладання рівняння на множники. Спочатку переносимо всі члени вліво і розкладаємо на множники.

Приведення рівняння до однорідного. Однорідними рівняннями називають рівняння, якщо всі члени однієї і тієї ж ступеня і синус, косинус одного і того ж кута.

Щоб його вирішити, слід: спочатку перенести всі його члени з правої частини в ліву частину-винести все загальні множники за скобкі- прирівняти множники і дужки нулю- прирівняні дужки дають однорідне рівняння меншій мірі, що слід розділити на cos (або sin) в старшій ступеня-вирішити отримане рівняння алгебри щодо tan.

Наступний метод - перехід до половинному куті. Наприклад, вирішити рівняння: 3 sin x - 5 cos x = 7.

Переходимо до половинному куті: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) - 5 cos (x / 2) + 5 sin (x / 2) = 7 sin (x / 2) + 7 cos (x / 2), після чого всі члени зводимо в одну частину (краще в праву) і вирішуємо рівняння.

Введення допоміжного кута. Коли ми замінюємо ціле значення cos (а) або sin (а). Знак «а» - допоміжний кут.

Метод перетворення твори в суму. Тут треба використовувати відповідні формули. Наприклад дано: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.

Вирішимо її, перетворивши ліву частину в суму, тобто:

cos 4x - cos 8x = cos 4x,

cos 8x = 0,

8x = p / 2 + pk,

x = p / 16 + pk / 8.

Останній метод, званий універсальної підстановкою. Ми перетворюємо вираз і робимо заміну, наприклад Cos (x / 2) = u, після чого вирішуємо рівняння з параметром u. При отриманні результату переводимо значення в зворотне.