Як вирішувати коріння

Ірраціональні рівняння необхідно привести до раціонального для того, щоб знайти відповідь, вирішивши його традиційним способом. Однак крім зведення в квадрат тут додається ще одну дію: відкидання стороннього кореня. Це поняття пов`язане з ірраціональністю коренів, тобто це рішення рівняння, підстановка якого призводить до безглуздості, наприклад, корінь з від`ємного числа.

Розглянемо найпростіший приклад: (2 • x + 1) = 3. Зведіть обидві частини рівності в квадрат: 2 • x + 1 = 9 x = 4.

Виходить, що x = 4 - це корінь одночасно і звичайного рівняння 2 • x + 1 = 9 і вихідного ірраціонального (2 • x + 1) = 3. На жаль, не завжди це буває просто. Іноді метод зведення в квадрат призводить до абсурду, наприклад: (2 • x - 5) = (4 • x - 7)

Здавалося б, треба просто звести обидві частини в другу ступінь і все, рішення знайдено. Однак в реальності виходить наступне: 2 • x - 5 = 4 • x - 7 -2 • x = -2 x = 1.Подставьте знайдений корінь у вихідне рівняння: (-3) = (-3) .x = 1 і називається стороннім коренем ірраціонального рівняння, яке не має інших коренів.

Приклад складніше: (2 • x + 5 • x - 2) = x - 6 2 • x + 5 • x - 2 = x - 12 • x + 36x + 17 • x - 38 = 0

Вирішіть звичайне квадратне рівняння: D = 289 + 152 = 441x1 = (-17 + 21) / 2 = 2 x2 = (-17 - 21) / 2 = -19.

Підставте x1 і x2 в вихідне рівняння, щоб відсікти сторонні коріння: (2 • 2 + 5 • 2 - 2) = 2 - 6 16 = -4- (2 • (-19) - 5 • 19 - 2) = -19 - 6 625 = - 25.Ето рішення невірне, отже, рівняння, як і попереднє, не має коренів.

Приклад із заміною переменной.Бивает, що просте зведення обох частин рівняння в квадрат не звільняє від коренів. В цьому випадку можна скористатися методом заміни: (x + 1) + (x + 4) = 3 [y = x + 1] y + (y + 3) = 3 (y + 3) = 3 - y

y + 3 = 9 - 6 • y + y 6 • y = 6 y = 1.x + 1 = 1 x = 0.

Перевірте результат: (0 + 1) + (0 + 4) = 1 + 2 = 3 - рівність дотримано, значить, корінь x = 0 є дійсним рішенням ірраціонального рівняння.