Як обчислити приватну похідну

Щоб знайти повний диференціал функції декількох змінних, потрібно обчислити приватну похідну по кожній з них. Методи вирішення аналогічні знаходженню похідної функції одного аргументу за тим винятком, що в якості одного або декількох постійних доданків або множників виступають інші змінні.

Принципи визначення похідної базуються на диференціюванні найпростіших і тригонометричних функціях: • (x ^ a) `= a • x ^ (a-1) - • (a ^ x)` = a ^ x • ln (a) - • (sin х ) `= cоs х- • (cоs x)` = - sin х-• (tg х) `= 1 / cоs х- • (сtg х)` = - 1 / sin х- • З `= 0, С - константа- • х `= 1.

Похідна функції, що містить змінні високого ступеня, визначається за формулою Лейбніца: f ^ (n) = C (n) ^ k • f ^ (n-k), де C (n) ^ k - біноміальні коефіцієнти.

Розгляньте приклад: f = 2 • х • у + 5 • y • z ^ 5 + 3 • x • z.

Визначте приватну похідну по х. При цьому кожне з доданків уявіть у вигляді функції від х. В даному випадку елементи 2 • у , 5 • y • z ^ 5 і 3 • z будуть постійними величинами: f`x = 2 • y + 0 + 6 • x • z-

При визначенні приватної похідною по y прийміть за постійні вирази 2 • x, 5 • z ^ 5 і 3 • x • z: f`y = 4 • x • у + 5 • z ^ 5 + 0-

Приватна похідна по аргументу z передбачає оголошення константами множники 5 • y, 3 • x і доданок 2 • x • y : f`z = 0 + 25 • y • z ^ 4 + 3/2 • x / z.

Приватні похідні використовуються при вирішенні диференціальних рівнянь. При цьому більше поширена запис f / x, яка на відміну від звичайної похідної df / dx сприймається як єдине позначення, а не як відношення приросту функції і аргументу. Елементи записи не можна розділити.

Результати описаного прикладу можна записати у вигляді повного диференціала функції: df = f / x • dx + f / y • dу + f / z • dz = 2 • (y + 3 • x • z) • dx + (4 • x • y + 5 • z ^ 5) • dy + (25 • y • z ^ 4 + (3 • x ) / (2 • z)) • dz.

Щоб знайти приватні похідні вищих порядків, потрібно продифференцировав функцію відповідну кількість разів. Наприклад, повний диференціал другого порядку наведеної функції буде виглядати наступним чином: d f = (6 • z) • d x + (4 • x) • d у + (-3 / 4 • x / z ) • d z.А диференціал третього порядку ось так: d f = 0 • d x + 0 • d y + (9/8 • x / z ^ 5) • d z і т.д.