Як знайти похідну функції

похідна функції в точці показує швидкість її зміни і обчислюється через теорію меж. Тому вона може мати як кінцеве, так і нескінченне значення. У другому випадку говорять, що вихідна функції не диференційована в цій точці. Існують правила, за якими можна знайти похідну найпростішої, елементарної і складної функції.

Запам`ятайте таблицю обчислення похідних найпростіших і деяких елементарних функцій: - З `= 0-- х` = 1-- (С • х) `= С • х` = С-- (sin х) `= соs х-(соs х ) `= - sin х-- (tv х)` = 1 / соs х- (сtv х) `= -1 / sin х-- b ^ x = b ^ х • ln b-- lоv_b х = 1 / ( х • ln b).

Застосовуйте загальні правила діфференцірованія.Проізводная статечної функції виду х ^ n, де n> 1, дорівнює n • х ^ (n-1). Приклади: (х ^ 4) `= 4 • х - (5 • х )` = 5 • 3 • х = 15 • х .

Похідна суми функцій знаходиться шляхом складання їх окремих похідних: ( fi (х)) `= fi` (х). Приклади: (sin х + соs х) `= соs х - sin х- (х ^ 5 + 6 • х ^ 4 - 2 • х + 14 • х)` = 5 • х ^ 4 + 24 • х - 4 • х + 14. При диференціюванні многочлена його ступінь зменшується на 1.

Похідна твори, де обидва множники є функціями, дорівнює сумі двох елементів. У першому випадку це похідна першої функції і вихідне вираз другий, у другому випадку - навпаки: (f • v) `= f` • v + f • v`.Прімер: (5 ^ х • lоv_5 х) `= (5 ^ х)` • lоv_5 х + 5 ^ х • (lоv_5 х) `= 5 • х • ln 5 • lоv_5 х + 5 ^ х / (х • ln 5).

Дріб, де чисельник і знаменник - функції, диференціюється за більш складною формулою: (f / v) `= (f` • v - f • v `) / v . Приклад: ((х • sin х) / (5 • х + 3)) `. Решеніе.К цього виразу застосовні відразу два правила диференціювання: суми і добутку функцій одного і того ж аргументу: ((х • sin х) / ( 5 • х + 3)) `= ((х • sin х)` • (5 • х + 3) - х • sin х • (5 • х + 3) `) / (5 • х + 3) = ((sin х + х • соs х) • (5 • х + 3) - х • sin х • 10 • х) / (5 • х + 3) .

Розкрийте дужки і приведіть подібні: х • соs х - х • sin х • (5 • х - 3) / (5 • х + 3) .

Щоб знайти похідну складної функції виду f (v (х)), продіфференціруйте старшу функцію f, прийнявши v за простий аргумент. Потім помножте результат на похідну v `(х). Наприклад: (tv (2 • х + 3)) `= (tv х)` • (2 • х + 3) `= 1 / соs (2 • х + 3) • 4 • х = 4 • х / соs ( 2 • х + 3).