Як обчислити функцію і побудувати графік

Для того щоб обчислити функцію і побудувати графік, потрібно виконати наступні дії: знайти область визначення, проаналізувати поведінку функції на границях цієї області (вертикальні асимптоти), досліджувати на парність, визначити проміжки опуклості і угнутості, виявити похилі асимптоти і розрахувати проміжні значення.

Область визначення

Спочатку передбачається, що нею є нескінченний інтервал, потім на нього накладаються обмеження. Якщо у виразі функції зустрічаються такі підфункції, вирішите відповідні нерівності. Їх сукупний результат і буде областю визначення:
• Корінь парного степеня від з показником у вигляді дробу з парних знаменником. Вираз, що стоїть під його знаком, може бути тільки позитивним або нулем: 0-
• Логарифмічні вираз виду log_b > 0-
• Дві тригонометричні функції тангенс і котангенс. Їхній аргумент - міра кута, яка не може бути рівною • k + / 2, інакше функція не має сенсу. Отже, • k + / 2
• Арксинус і арккосинус, які мають сувору область визначення -1 1
• Степенева функція, показник якої - інша функція: ^ f > 0-
• Дріб, утворена відношенням двох функцій 1 / 2. Очевидно, що 2 0.

вертикальні асимптоти

Якщо вони є, то розташовуються на кордонах області визначення. Щоб це з`ясувати, вирішите односторонні межі при х A-0 і х В + 0, де х - аргумент функції (абсциса графіка), А і В - початок і кінець інтервалу області визначення. Якщо таких інтервалів кілька, досліджуйте всі їх граничні значення.

Парність / непарність

Підставте в вираз функції аргумент (-х) замість х. Якщо результат не зміниться, тобто (х) = (х), то вона парна, якщо ж (х) = - (х), - непарна. Це необхідно для того, щоб виявити наявність симетрії графіка відносно осі ординат (парність) або початку координат (непарність).

Зростання / спадання, точки екстремуму

Відео - Як правильно будувати графік функції в MS Excel

Обчисліть похідну функції і вирішіть два нерівності `(х) 0 і ` (х) 0. В результаті ви отримаєте проміжки зростання / спадання функції. Якщо в якійсь точці похідна звертається в нуль, то вона називається критичною. Можливо, вона також є точкою перегину, з`ясуйте це в наступній дії.

У будь-якому випадку це точка екстремуму, в якій відбувається перелом, зміна одного стану до іншого. Наприклад, якщо спадна функція стає зростаючій, то це точка мінімуму, якщо навпаки - максимуму. Зверніть увагу, що похідна може мати свою область визначення, більш суворий.

Опуклість / увігнутість, точки перегину

Знайдіть другу похідну і вирішите аналогічні нерівності `` (х) 0 і `` (х) 0. На цей раз результатами будуть інтервали опуклості і угнутості графіка. Точки, в яких друга похідна дорівнює нулю, є стаціонарними і можуть бути точками перегину. Перевірте, як веде себе функція `` до і після них. Якщо змінює знак, значить, це точка перегину. Крім того, перевірте на це властивість критичні точки, певні в попередньому дії.

похилі асимптоти

Асимптоти - великі помічники при побудові графіка. Це прямі лінії, до яких наближається нескінченна гілка кривої функції. Вони задаються рівнянням у = k • х + b, де коефіцієнт k дорівнює межі lim / г при х , а доданок b - такого ж межі вираження ( - k • х). При k = 0 асимптота проходить горизонтально.

Обчислення в проміжних точках

Це допоміжний дію, щоб домогтися більшої точності побудови. Підставте декілька довільних значень з області визначення в функцію.

побудова графіка

Відео - Дослідження функції і побудова її графіка

Накресліть асимптоти, нанесіть екстремуми, відзначте точки перегинів і проміжні точки. Схематично покажіть проміжки зростання та спадання, опуклості і угнутості, наприклад, знаками «+», «-» або стрілками. Проведіть лінії графіка по всіх точках, наблизьте до асимптотам, згинаючи відповідно зі стрілками або знаками. Перевірте симетрію, виявлену на третьому кроці.