Як знайти площу фігури обмеженою лініями

За визначенням інтеграла, він дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою графіком заданої функції. Там, де необхідно знайти площу фігури, обмеженої лініями, мова йде про кривих, заданих на графіку двома функціями f1 (x) і f2 (x).

Нехай на деякому інтервалі [a, b] задані дві функції, які визначені і неперервні. Причому одна з функцій графіку розташована вище за іншу. Таким чином, утворюється візуальна фігура, обмежена лініями функцій і прямими x = a, x = b.

Тоді площа фігури можна виразити формулою, що інтегрує різниця функцій на інтервалі [a, b]. Обчислення інтеграла проводиться згідно із законом Ньютона-Лейбніца, згідно з яким результат дорівнює різниці первісної функції від граничних значень інтервалу.

Приклад 1.
Знайти площу фігури, обмеженою прямими лініями y = -1 / 3middot-x - , x = 1, x = 4 і параболою y = -x + 6middot-x - 5.

Рішення.
Побудуйте графіки всіх ліній. Ви можете побачити, що лінія параболи знаходиться вище прямої y = -1 / 3middot-x - . Отже, під знаком інтеграла в даному випадку повинна стояти різниця між рівнянням параболи і заданої прямої. Інтервал інтегрування, відповідно, знаходиться між точками x = 1 і x = 4:
S = int - (- x + 6middot-x - 5 - (-1 / 3middot-x - 1/2)) dx = (-x + 19 / 3middot-x - 9/2) dx на відрізку [1, 4].

Знайдіть первісну для отриманого подинтегрального вираження:
F (-x + 19 / 3x - 9/2) = -1 / 3xsup3- + 19 / 6x - 9 / 2x.

Підставте значення кінців відрізка:
S = (-1 / 3middot-4sup3- + 19 / 6middot-4 - 9 / 2middot-4) - (-1 / 3middot-1sup3- + 19 / 6middot-1 - 9 / 2middot-1) = 13.

Приклад 2.
Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y = (x + 2), y = x і прямий x = 7.

Рішення.



Це завдання є більш складною у порівнянні з попередньою, оскільки в ній немає другої прямої, паралельної осі абсцис. Це означає, що друге граничне значення інтеграла невизначено. Отже, його потрібно знайти з графіка. Побудуйте задані лінії.

Ви побачите, то пряма лінія y = x проходить діагонально щодо координатних осей. А графік функції кореня - це позитивна половина параболи. Очевидно, що лінії на графіку перетинаються, тому точка перетину і буде нижньою межею інтегрування.

Знайдіть точку перетину, вирішивши рівняння:
x = (x + 2) x = x + 2 [x -2] x - x - 2 = 0.

Визначте корені квадратного рівняння за допомогою дискримінанту:
D = 9 x1 = 2 x2 = -1.

Очевидно, що значення -1 не підходить, оскільки абсциса струми перетину - позитивна величина. Отже, другий межа інтегрування x = 2. Функція y = x на графіку вище функції y = (x + 2), тому в інтегралі вона буде першою.
Проінтегріруйте вийшло вираз на інтервалі [2, 7] і знайдіть площу фігури:
S = int- (x - (x + 2)) dx = (x / 2 - 2 / 3middot- (x + 2) ^ (3/2)).

Підставте інтервальні значення:
S = (7 / 2 - 2 / 3middot-9 ^ (3/2)) - (2 / 2 - 2 / 3middot-4 ^ (3/2)) = 59/6.