Як знайти похідну вектора

Радіус-вектор прийнято записувати в такий спосіб: r = r (М) = x i + y j + z k. Тут (x, y, z) - декартові координати вектора. Не важко уявити ситуацію, коли вектор може змінюватися в залежності від будь-якого скалярного параметра, наприклад, часу t. У цьому випадку вектор можна описувати як функцію трьох аргументів, задану параметричними рівняннями x = x (t), y = y (t), z = z (t), що відповідає r = r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k. При цьому лінія, яку в міру зміни параметра t описує в просторі кінець радіус-вектора називається годографом вектора, а саме співвідношення r = r (t) називають вектор-функцією (векторної функцією скалярного аргументу).

Отже, вектор-функція - це вектор, що залежить від параметра. Похідну вектор-функції (як і будь-якої функції, що подається у вигляді суми) можна записати в такій формі: r `= dr / dt = r` (t) = x `(t) i + y` (t) j + z `(t) k. (1) Похідна кожної з вхідних в (1) функцій визначається традиційно. Аналогічним чином йде справа і з r = r (t), де приріст r також вектор (див. Рис. 1).

В силу (1) можна прийти до висновку, що правила диференціювання вектор-функції повторюють правила диференціювання звичайних функцій. Так похідна суми (різниці) - є сума (різниця) похідних. При обчисленні похідної вектора на число, це число можна виносити за знак похідної. Для скалярного і векторного твори зберігається правило обчислення похідної добутку функцій. Для векторного твори [r (t), g (t)] `= [r` (t), g (t)] + [r (t) g `(t)]. Залишається ще одне поняття - твори скалярної функції на векторну (тут правило диференціювання добутку функцій зберігається).

Особливий інтерес представляє собою вектор-функція довжини дуги s, по якій переміщається кінець вектора, відлічуваної від деякої початкової точки Мо. Це r = r (s) = u (s) i + v (s) j + w (s) k (див. Рис. 2) .За допомогою рис. 2 постарайтеся з`ясувати геометричний зміст похідної dr / ds.

Відрізок АВ, на якому лежить r, є хордою дуги. При цьому її довжина дорівнює s. Очевидно, що відношення довжини дуги до довжини хорди прагне до одиниці при r, які прагнуть до нуля. r = r (s + s) -r (s), | r | = | AB |. Тому | r / s | і в межі (при s прагнуть до нуля) дорівнює одиниці. Отримана при цьому похідна спрямована по дотичній до кривої dr / ds = sigma - одиничний вектор. Отже, можна записати і другу похідну (d ^ 2) r / (ds) ^ 2 = (d / ds) [dr / ds] = dsigma / ds.