Як знайти координати вектора в базисі

Нехай є система векторів a1, a2, ..., ak. Вона лінійно незалежна, коли нульовий вектор розкладається по ній єдиним чином. Іншими словами, тільки тривіальна комбінація цих векторів дасть своїм результатом нульовий вектор. Тривіальне розкладання передбачає рівність нулю всіх коефіцієнтів.

Система, що складається з одного ненульового вектора, завжди лінійно незалежна. Система з двох векторів лінійно незалежна, якщо вони не колінеарні. Щоб система з трьох векторів була лінійно незалежної, необхідно, щоб вони були некомпланарних. З чотирьох і більше векторів вже неможливо скласти лінійно незалежну систему.

Таким чином, в нульовому просторі базису немає. В одновимірному просторі базисом може бути будь-який ненульовий вектор. У просторі розмірністю два базисом може стати будь-яка впорядкована пара неколінеарних векторів. Нарешті, упорядкована трійка некомпланарних векторів сформує базис для тривимірного простору.

Вектор можна розкласти по базису, наприклад, p = 1 • a1 + 2 • a2 + ... + k • ak. Коефіцієнти при розкладанні 1, ..., k є координатами вектора в цьому базисі. Іноді вони називаються також компонентами вектора. Оскільки базис являє собою лінійно незалежну систему, коефіцієнти розкладання визначені однозначно і єдиним чином.

Нехай є базис, що складається з одного вектора e. У будь-якого вектора в цьому базисі буде тільки одна координата: p = a • e. Якщо p сонаправлени базисного вектора, число a покаже співвідношення довжин векторів p і e. Якщо протилежно спрямований, число a буде ще й негативним. У разі довільного напрямку вектора p по відношенню до вектора e в компоненту a входитиме косинус кута між ними.

В базисі більш високих порядків розкладання представлятиме більш складне рівняння. Проте, можна послідовно розкласти заданий вектор по векторах базису, аналогічно одновимірному.

Щоб знайти координати вектора в базисі, помістіть на кресленні вектор поруч з базисом. Якщо необхідно, накресліть проекції вектора на координатні осі. Порівняйте довжину вектора з базисом, розпишіть кути між ним і базисними векторами. Використовуйте для цього тригонометричні функції: синус, косинус, тангенс. Розкладіть вектор за базисом, а коефіцієнти при розкладанні будуть його координатами.