Як визначити точки розриву функції

Точка розриву на графіку функції виникає тоді, коли в ній порушується безперервність функції. Для того, щоб функція була неперервною, необхідно і достатньо, щоб його лівобічний і правобічний межі в цій точці були рівні між собою і збігалися зі значенням самої функції.

Існує два типи точок розриву - першого і другого роду. У свою чергу, точки розриву першого роду бувають переборні і непереборні. Усувний розрив з`являється, коли односторонні межі рівні між собою, але не збігаються зі значенням функції в цій точці.

І навпаки, він є непереборним, коли межі не рівні між собою. У цьому випадку точка розриву першого роду називається стрибком. Розрив другого роду характеризується нескінченним або не існуючим значенням як мінімум одного з односторонніх меж.

Щоб дослідити функцію на точки розриву і визначити їх рід, розділіть завдання на кілька етапів: знайдіть область визначення функції, визначте межі функції зліва і справа, порівняйте їх значення зі значенням функції, визначте тип і рід розриву.

Приклад.
Знайдіть точки розриву функції f (x) = (x - 25) / (x - 5) і визначте їх тип.

Рішення.
1. Знайдіть область визначення функції. Очевидно, що безліч її значень нескінченно за винятком точки x_0 = 5, тобто x &isin- (- - 5) &cup- (5 + ). Отже, точкою розриву імовірно може бути тільки вона-
2. Обчисліть односторонні межі. Вихідну функцію можна спростити до вигляду f (x) -gt; g (x) = (x + 5). Неважко побачити, що ця функція неперервна при будь-якому значенні x, тому її односторонні межі рівні між собою: lim (x + 5) = 5 + 5 = 10.

3. Визначте, чи збігаються значення односторонніх меж і функції в точці x_0 = 5:
f (x) = (x - 25) / (x - 5). Функція не може бути визначена в цій точці, тому що тоді знаменник звернеться в нуль. Отже, в точці x_0 = 5 функція має усувний розрив першого роду.

Розрив другого роду називається нескінченним. Наприклад, знайдіть точки розриву функції f (x) = 1 / x і визначте їх тип.
Рішення.
1. Область визначення функції: x &isin- (- - 0) &cup- (0- + ) -
2. Очевидно, що лівобічний межа функції прагне до - , а правобічний - до + . Отже, точка x_0 = 0 є точкою розриву другого роду.