Як знайти висоту рівнобедреної трапеції

Трапеція є чотирикутник, дві сторони якого паралельні - підстави, а дві інші не паралельні - бічні сторони. Трапеція, бічні сторони якої рівні, називається рівнобедреної або равнобочной. Якщо в рівнобедреної трапеції діагоналі перпендикулярні, то висота дорівнює напівсумі підстав, ми розглянемо випадок, коли діагоналі НЕ перпендикулярні.

Розглянемо рівнобедрений трапецію ABCD і опишемо її властивості, але лише ті з них, знання яких допоможе нам вирішити поставлену задачу. З визначення рівнобедреної трапеції підставу AD = a паралельно BC = b, а бічна сторона AB = CD = c з цього випливає, що кути при підставах дорівнюють, тобто кут BAQ = CDS = , таким же чином кут ABC = BCD = . Узагальнивши вищесказане, справедливо стверджувати, що трикутник ABQ дорівнює трикутнику SCD, а значить, відрізок AQ = SD = (AD - BC) / 2 = (a - b) / 2.

Якщо в умові завдання нам дано довжини підстав a і b, а також довжина бокової сторони с, то висота трапеції h, що дорівнює відрізку BQ, знаходиться наступним чином. Розглянемо трикутник ABQ, так як за визначенням висота трапеції є перпендикуляр до основи, то можна стверджувати, що трикутник ABQ прямокутний. Сторона AQ трикутника ABQ, виходячи з властивостей рівнобедреної трапеції, знаходиться за формулою AQ = (a - b) / 2. Тепер знаючи дві сторони AQ і c, по теоремі Піфагора знаходимо висоту h. Теорема Піфагора говорить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Запишемо цю теорему стосовно нашого завдання: c ^ 2 = AQ ^ 2 + h ^ 2. Звідси випливає, що h = (c ^ 2-AQ ^ 2).

Для прикладу розглянемо трапецію ABCD, в якій підстави AD = a = 10см BC = b = 4 см, бічна сторона AB = c = 12см. Знайти висоту трапеції h. Знаходимо сторону AQ трикутника ABQ. AQ = (a - b) / 2 = (10-4) / 2 = 3 см. Далі підставляємо значення сторін трикутника в теорему Піфагора. h = (c ^ 2-AQ ^ 2) = (12 ^ 2-3 ^ 2) = 135 = 11.6см.