Як знайти площу рівнобедреної трапеції

Чотирикутник, у якого пара протилежних сторін паралельна, називають трапецією. У трапеції визначають підстави, сторони, діагоналі, висоту, середню лінію. Знаючи різні елементи трапеції, можна знайти її площа.

Іноді спеціальними випадками рівнобедрених трапецій вважаються прямокутники і квадрати, але в багатьох джерелах вони до трапеціям не належать. Ще одним спеціальним випадком рівнобедреної трапеції вважається така геометрична фігура з 3 рівними сторона. Її називають тристоронньої трапецією, або тріравнобедренной трапецією, або, рідше, symtra. Таку трапецію можна розглядати як відсікання 4 послідовних вершин від правильного багатокутника, що має 5 або більше сторін.

Трапеція складається з підстав (паралельні протилежні сторони), бічних сторін (дві інші сторони), середньої лінії (відрізок, що з`єднує середини бічних сторін). Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень її бічних сторін і середини підстав лежать на одній прямій.

Щоб трапеція вважалася рівнобедреної, має виконуватися як мінімум одне з наступних умов. Перше: кути при основі трапеції повинні бути рівні: ABC = BCD і BAD = ADC. Друге: діагоналі трапеції повинні бути рівні: AC = BD. Третє: якщо кути між діагоналями і підставами однакові, трапеція вважається рівнобедреної: ABD = ACD, DBC = ACB, CAD = ADB, BAC = BDC. Четверте: сума протилежних кутів дорівнює 180 °: ABC + ADC = 180 ° і BAD + BCD = 180 °. П`яте: якщо навколо трапеції можна описати коло, вона вважається рівнобедреної.

Рівнобедрена трапеція, як і будь-яка інша геометрична фігура, має низку незмінних властивостей. Перше з них: сума кутів, прилеглих до бічної сторони рівнобедреної трапеції дорівнює 180 °: ABC + BAD = 180 ° і ADC + BCD = 180 °. Друге: якщо в рівнобедрений трапецію можна вписати коло, то її бічна сторона дорівнює середній лінії трапеції: AB = CD = m. Третє: навколо рівнобедреної трапеції завжди можна описати коло. Четверте: якщо діагоналі взаємно перпендикулярні, то висота трапеції дорівнює напівсумі підстав (середній лінії): h = m. П`яте: якщо діагоналі взаємно перпендикулярні, то площа трапеції дорівнює квадрату висоти: SABCD = h2. Шосте: якщо в рівнобедрений трапецію можна вписати коло, то квадрат висоти дорівнює добутку основ трапеції: h2 = BC • AD. Сьоме: сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів бічних сторін плюс подвоєному добутку основ трапеції: AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC • AD. Восьме: пряма, що проходить через середини підстав, перпендикулярна підставах і є віссю симетрії трапеції: HF BC AD. Дев`яте: висота ((CP), опущена з вершини (C) на більше підставу (AD), ділить його на великий відрізок (AP), який дорівнює напівсумі підстав і менше (PD) - дорівнює полуразность підстав: AP = BC + AD / 2, PD = AD-BC / 2.

Найпоширеніша формула для обчислення площі трапеції - S = (a + b) h / 2. Для випадку рівнобедреної трапеції вона явно не зміниться. Можна лише відзначити, що у рівнобедреної трапеції кути при будь-якому з підстав дорівнюватимуть (DAB = CDA = x). Так як її бічні сторони теж рівні (AB = CD = с), то і висоту h можна порахувати за формулою h = с * sin (x).

Тоді S = (a + b) * с * sin (x) / 2.

Аналогічно, площа трапеції можна записати через середню сторону трапеції: S = mh.

Розглянемо окремий випадок рівнобедреної трапеції, коли її діагоналі перпендикулярні. В цьому випадку, по властивості трапеції, її висота дорівнює напівсумі підстав.

Тоді площа трапеції можна обчислити за формулою: S = (a + b) ^ 2/4.

Розглянемо також ще одну формулу для визначення площі трапеції: S = ((a + b) / 2) * sqrt (c ^ 2 - ((ba) ^ 2 + c ^ 2-d ^ 2) / 2 (ba)) ^ 2), де c і d - бічні сторони трапеції. Тоді в разі рівнобедреної трапеції, коли c = d, формула набуває вигляду: S = ((a + b) / 2) * sqrt (c ^ 2 - ((b-a) ^ 2/2 (b-a)) ^ 2).

Знайдіть площу трапеції за формулою S = 0,5 (a + b) h, якщо відомі a і b - довжини підстав трапеції, тобто паралельні сторони чотирикутника, і h - висота трапеції (найменша відстань між основами). Наприклад, нехай дана трапеція з основами a = 3 см, b = 4 см і висотою h = 7 см. Тоді її площа буде дорівнює S = 0,5 (3 + 4) 7 = 24,5 см .

Скористайтеся наступною формулою для обчислення площі трапеції: S = 0,5 AC BD sin ( ), де AC і BD - діагоналі трапеції, а - кут між цими діагоналями. Наприклад, задана трапеція з діагоналями AC = 4 см і BD = 6 см і кутом = 52 °, тоді sin (52 °) 0,79. Підставте значення в формулу S = 0,5 4 6 0,79 9,5 см .

Порахуйте площа трапеції, коли відомі її m - середня лінія (відрізок, що з`єднує середини сторін трапеції) і h - висота. У цьому випадку площа буде дорівнює S = m h. Наприклад, нехай у трапеції середня лінія m = 10 см, а висота h = 4 см. У цьому випадку виходить, що площа заданої трапеції дорівнює S = 10 4 = 40 см .

Обчисліть площу трапеції, в разі коли дані довжини її бічних сторін і підстав за формулою: S = 0,5 (a + b) (c - (((b-a) + c -d ) (2 (b-a))) ), де a і b - підстави трапеції, а c і d - її бічні сторони. Наприклад, нехай дана трапеція з основами 40 см і 14 см і бічними сторонами 17 см і 25 см. За вищевказаною формулою S = 0,5 (40 + 14) (17 - (((14-40) + 17 -25 ) (2 (14-40))) ) 423,7 см .

Розрахуйте площа рівнобедреної (равнобокой) трапеції, тобто трапеції у якій бічні сторони рівні, якщо в неї вписана окружність за формулою: S = (4 r ) sin ( ), де r - радіус вписаного кола, - кут при підставі трапеції. У рівнобедреної трапеції кути при основі рівні. Наприклад, нехай в трапецію вписано коло радіусом r = 3 см, а кут при підставі = 30 °, тоді sin (30 °) = 0,5. Підставте значення в формулу: S = (4 3 ) 0,5 = 72 см .