Як знайти довжину підстави трапеції

Фігура з умови задачі представлена на малюнку 1. У даному випадку слід припустити, що розглянута трапеція - це чотирикутник AВCD, в якому задані довжини діагоналей AC і BD, а також бічна сторона АВ, представлена вектором a (ax, ay). Прийняті вихідні дані дозволяють знайти обидва основи трапеції (Як верхнє, так і нижнє). У конкретному прикладі спочатку буде знайдено нижня частина АD.

Розгляньте трикутник ABD. Довжина його боку АВ дорівнює модулю вектора a. Нехай | a | = sqrt ((ax) ^ 2 + (ay) ^ 2) = a, тоді cosф = ax / sqrt (((ax) ^ 2 + (ay) ^ 2), як направляючий косинус a. Нехай задана діагональ BD має довжину p, а шукана AD довжину х. Тоді, по теоремі косинусів, P ^ 2 = a ^ 2 + x ^ 2-2axcosф. Або x ^ 2-2axcosф + (a ^ 2-p ^ 2) = 0.

Рішення цього квадратного рівняння: X1 = (2acosф + sqrt (4 (a ^ 2) ((cosф) ^ 2) -4 (a ^ 2-p ^ 2))) / 2 = acosф + sqrt ((a ^ 2) ((cosф) ^ 2) - (a ^ 2-p ^ 2)) == a * ax | sqrt (((ax) ^ 2 + (ay) ^ 2) + sqrt ((((a) ^ 2) (ax ^ 2)) / (ax ^ 2 + ay ^ 2)) - a ^ 2 + p ^ 2) = AD.

Для знаходження верхнього основи ВС (його довжина при пошуку рішення також позначена х) використовується модуль | a | = a, а також друга діагональ BD = q і косинус кута АВС, який, очевидно, дорівнює (п-ф).

Далі розглядається трикутник АВС, до якого, як і раніше, застосовується теорема косинусів, і виникає наступне рішення. З огляду на, що cos (п-ф) = - cosф, на основі рішення для AD, можна записати наступну формулу, замінивши p на q: ВС = - a * ax | sqrt (((ax) ^ 2 + (ay) ^ 2 ) + sqrt ((((a) ^ 2) (ax ^ 2)) / (ax ^ 2 + ay ^ 2)) - a ^ 2 + q ^ 2).

Дане рівняння є квадратним і, відповідно, має два кореня. Таким чином, в даному випадку залишається вибрати лише ті корені, які мають позитивне значення, так як довжина не може бути негативною.

ПрімерПусть в трапеції АВСD бічна сторона АВ задана вектором a (1, sqrt3), p = 4, q = 6. знайти основи трапеції.Рішення. Використовуючи отримані вище алгоритми можна записати: | a | = a = 2, cosф = 1/2. AD = 1/2 + sqrt (4/4 -4 + 16) = 1/2 + sqrt (13) = (sqrt (13) +1) /2.BC=-1/2+sqrt (-3 + 36 ) = (sqrt (33) -1) / 2.