Як знайти кути трикутника за довжинами його сторін

Скористайтеся, наприклад, двома формулами обчислення площі трикутника, в одній з яких задіяні тільки три його відомих сторіни (формула Герона), а в іншій - дві сторіни і синус кута між ними. Використовуючи в другій формулі різні пари сторін, ви зможете визначити величини кожного з кутів трикутника.

Вирішіть задачу в загальному вигляді. Формула Герона визначає площу трикутника, як квадратний корінь з добутку напівпериметр (половини від суми всіх сторін) На різниці між напівпериметр і кожної з сторін. Якщо замінити периметр сумою сторін, то формулу можна записати в такому вигляді: S = 0,25lowast-radic- (a + b + c) lowast- (b + c-a) lowast- (a + c-b) lowast- (a + b-c) .C інший сторіни площа трикутника можна виразити як половину твору двох його сторін на синус кута між ними. Наприклад, для сторін a і b з кутом gamma- між ними цю формулу можна записати так: S = alowast-blowast-sin (gamma-). Замініть ліву частину рівності формулою Герона: 0,25lowast-radic- (a + b + c) lowast- (b + ca) lowast- (a + cb) lowast- (a + bc) = alowast-blowast-sin (gamma- ). Виведіть з цієї рівності формулу для синуса кута gamma-: sin (gamma -) = 0,25lowast-radic- (a + b + c) lowast- (b + c-a) lowast- (a + c-b) lowast- (a + b-c) / (alowast-blowast-)

Аналогічні формули для двох інших кутів:
sin (alpha -) = 0,25lowast-radic- (a + b + c) lowast- (b + c-a) lowast- (a + c-b) lowast- (a + b-c) / (blowast-clowast-)
sin (beta -) = 0,25lowast-radic- (a + b + c) lowast- (b + ca) lowast- (a + cb) lowast- (a + bc) / (alowast-clowast-) Замість цих формул можна скористатися теоремою синусів, з якої випливає, що співвідношення сторін і синусів протилежних їм кутів в трикутнику рівні. Тобто, обчисливши в попередньому кроці синус одного з кутів, можна знайти синус іншого кутка за простішою формулою: sin (alpha -) = sin (gamma-) lowast-a / c. А виходячи з того, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180 °, третій кут можна розрахувати ще простіше: beta- = 180 ° -alpha - gamma-.

Використовуйте, наприклад, стандартний калькулятор Windows для знаходження величин кутів в градусах після того, як за формулами розрахуєте значення синусів цих кутів. Щоб це зробити, застосовуйте тригонометричну функцію, зворотну синусу - арксинус.