Як знайти периметр трикутника

Якщо всі три сторони трикутника вже дано в умові завдання, просто складіть їх. Тоді периметр буде дорівнює: P = a + b + c.

Нехай дано дві сторони a, b і кут між ними . Тоді третю сторону можна знайти за теоремою косинусів: c = a + b - 2 • a • b • cos ( ). Пам`ятайте, що довжина сторони може бути тільки позитивною.

Окремий випадок теореми косинусів - теорема Піфагора, яка може бути застосована для прямокутних трикутників. Кут в даному випадку дорівнює 90 °. Косинус прямого кута звертається в одиницю. Тоді c = a + b .

Якщо в умові дана тільки одна зі сторін, але при цьому відомі кути трикутника, дві інші сторони можна знайти по теоремі синусів. До речі, кути можуть бути задані не всі, тому корисно пам`ятати, що сума всіх кутів трикутника дорівнює 180 °.

Отже, нехай дана сторона a, кут між a і b, між a і c. Третій кут між сторонами b і c легко знайти з теореми про суму кутів трикутника: = 180 ° - - . По теоремі синусів, a / sin ( ) = b / sin ( ) = c / sin ( ) = 2 • R, де R - радіус кола, описаного навколо трикутника. Щоб знайти сторону b, можна висловити її з цієї рівності через кути і сторону a: b = a • sin ( ) / sin ( ). Аналогічно виражається і сторона c: c = a • sin ( ) / sin ( ). Якщо, наприклад, дано радіус описаного кола, але не дана довжина жодної зі сторін, завдання також можливо вирішити.

Якщо в задачі дана площа фігури, треба записати формулу для площі трикутника через боку. Вибір формули залежить від того, що ще відомо. Якщо, крім площі, задані дві сторони, допоможе застосування формули Герона. Площа можна виразити також через дві сторони і синус кута між ними: S = 1/2 • a • b • sin ( ), де - кут між сторонами a і b.

У деяких завданнях може бути задана площа і радіус кола, вписаного в трикутник. В такому випадку виручить формула r = S / p, де r - радіус вписаного кола, S - площа, p - напівпериметр трикутника. Напівпериметр з цієї формули виразити легко: p = S / r. Залишилося знайти периметр: P = 2 • p.