Як знайти кути трикутника за трьома його сторонам

Нехай заданий трикутник зі сторонами a, b і с. При цьому сума довжин двох будь-яких сторін трикутника повинна бути більше довжини третьої сторони, тобто a + b> c, b + c> a і a + c> b. І необхідно знайти градусну міру всіх кутів цього трикутника. Нехай кут між сторонами a і b позначений як , кут між b і c як , а кут між c і a як .

Теорема косинусів звучить так: квадрат довжини сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших довжин його сторін мінус подвоєний добуток цих довжин сторін на косинус кута між ними. Тобто складіть три рівності: a = b + c -2 b c cos ( ) - b = a + c -2 a c cos ( ) - c = a + b -2 a b cos ( ).

З отриманих рівностей висловіть косинуси кутів: cos ( ) = (b + c -a ) (2 b c) - cos ( ) = (a + c -b ) (2 a c) - cos ( ) = (a + b -c ) (2 a b). Тепер, коли відомі косинуси кутів трикутника, щоб знайти самі кути скористайтеся таблицями Брадіса або візьміть з цих виразів арккосинуса: = arccos (cos ( )) - = arccos (cos ( )) - = arccos (cos ( ) ).

Наприклад, нехай a = 3, b = 7, c = 6. Тоді cos ( ) = (3 + 7 -6 ) (2 3 7) = 11/21 і 58,4 ° - cos ( ) = (7 + 6 -3 ) (2 7 6) = 19/21 і 25,2 ° - cos ( ) = (3 + 6 -7 ) (2 3 6) = - 1/9 і 96,4 °.

Цю ж задачу можна вирішити іншим способом через площу трикутника. Спочатку знайдіть напівпериметр трикутника за формулою p = (a + b + c) 2. Потім порахуйте площа трикутника за формулою Герона S = (p (p-a) (p-b) (p-c)), тобто площа трикутника дорівнює квадратному кореню з добутку напівпериметр трикутника і різниць напівпериметр і кожної зі сторін трикутника.

З іншого боку, площа трикутника дорівнює половині твори довжин двох сторін на синус кута між ними. Виходить S = 0,5 a b sin ( ) = 0,5 b c sin ( ) = 0,5 a c sin ( ). Тепер з цієї формули висловіть синуси кутів і підставте отримане в 5 кроці значення площі трикутника: sin ( ) = 2 S (a b) - sin ( ) = 2 S (b c) - sin ( ) = 2 S (a c). Таким чином, знаючи синуси кутів, щоб знайти градусну міру, використовуйте таблиці Брадіса або порахуйте арксинуса цих виразів: = arccsin (sin ( )) - = arcsin (sin ( )) - = arcsin (sin ( )) .

Наприклад, нехай дано такий же трикутник зі сторонами a = 3, b = 7, c = 6. Напівпериметр дорівнює p = (3 + 7 + 6) 2 = 8, площа S = (8 (8-3) (8-7) (8-6)) = 4 5. Тоді sin ( ) = 2 4 5 (3 7) = 8 5 / 21 і 58,4 ° - sin ( ) = 2 4 5 (7 6) = 4 5/21 і 25,2 ° - sin ( ) = 2 4 5 (3 6) = 4 5 / 9 і 96,4 °.