Як знайти довжини ребер паралелепіпеда по діагоналі

Паралелепіпед має одну особливість, не властиву іншим фігурам. Його межі попарно паралельні і мають рівні вимірювання і числові характеристики, такі як площа і периметр. Будь-яку пару таких граней можна прийняти за підстави, тоді залишилися становитимуть його бічну поверхню.

Можна знайти довжини ребер паралелепіпеда по діагоналі, але однією цієї величини мало. По-перше, зверніть увагу на те, який різновид цієї просторової фігури вам дана. Це може бути правильний паралелепіпед, що володіє прямими кутами і рівними вимірами, тобто куб. У цьому випадку буде досить знати довжину однієї діагоналі. У всіх інших випадках повинен бути, як мінімум, ще один відомий параметр.

Діагоналі і довжини сторін в паралелепіпеді пов`язані певним співвідношенням. Ця формула випливає з теореми косинусів і являє собою рівність суми квадратів діагоналей і суми квадратів ребер:
d1 + d2 + d3 + d4 = 4 • а + 4 • b + 4 • c , де а - довжина, b - ширина і c - висота.

Для куба формула спрощується:
4 • d = 12 • а
а = d / 3.

Приклад: знайти довжину сторони куба, якщо його діагональ дорівнює 5 см.
Рішення.
25 = 3 • а
а = 5 / 3.

Розглянемо прямий паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні підставах, а самі підстави є паралелограма. Його діагоналі попарно рівні і пов`язані з довжинами ребер за наступним принципом:
d1 = а + b + c + 2 • а • b • cos -
d2 = а + b + c - 2 • а • b • cos , де - гострий кут між сторонами підстави.

Цією формулою можна скористатися, якщо відомі, наприклад, одна зі сторін і кут або ці величини можуть бути знайдені за іншими умовами завдання. Рішення спрощується, коли всі кути в підставі прямі, тоді:
d1 + d2 = 2 • а + 2 • b + 2 • c .

приклад: знайдіть ширину і висоту прямокутного паралелепіпеда, якщо ширина b більше довжини а на 1 см, висота c - в 2 рази більше, а діагональ d - в 3.
Рішення.
Запишіть основну формулу квадрата діагоналі (в прямокутному паралелепіпеді вони рівні):
d = а + b + c .

Висловіть всі вимірювання через задану довжину а:
b = а + 1
c = а • 2
d = а • 3.
Підставте у формулу:
9 • а = а + (а + 1) + 4 • а

Вирішіть квадратне рівняння:
3 • а - 2 • а - 1 = 0
Знайдіть довжини всіх ребер:
а = 1 b = 2 c = 2.