Як вирішити систему лінійних рівнянь

Система т лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має вигляд (див. Рис. 1).
У ній аij - коефіцієнти системи, хj - невідомі, bi - вільні члени (i = 1, 2, ..., т-j = 1, 2, ..., п). Практичний сенс така система має в тому випадку, коли число її рівнянь не перевищує число невідомих, тобто при m n. Справа в тому, що в іншому випадку «зайві» рівняння повинні бути лінійною комбінацією інших. Це означає, що вони їх просто повторюють. Якщо немає, то і рішення не існує (система не сумісна).

Компактно таку систему можна записувати в матричної формі АХ = B. Тут А - матриця коефіцієнтів системи, Х - матриця- стовпець невідомих, B - матриця-стовпець вільних членів (див. Рис 2). Якщо m = n, тобто є кількість невідомих і число рівнянь однаково, то матриця А квадратна. Тому для неї визначено поняття визначника матриці = | A |. При | A | 0 існує обернена матриця A . Її визначення базується на рівності АA = A A = E (E - одинична матриця). Формула для обчислення зворотної матриці також присутній на малюнку 2. Слід лише додати, що елементи Aij приєднаної матриці , звані алгебраїчними доповненнями елементів aij матриці А обчислюються наступним чином. Візьміть визначник | A | і викресліть із нього рядок і стовпець, на якому знаходиться елемент aij. Решта коефіцієнти запишіть у вигляді нового визначника, який помножте на (-1), якщо i + j НЕ парне. Відповідне число одно Aij. Алгебраїчні доповнення записуються за стовпцями приєднаної матриці.

Знайдіть рішення системи матричних способом. Для цього обидві частини системи AX = B помножте на A зліва. Отримайте (A A) X = A B, EX = A B або X = A B. Всі подробиці проілюстровані на рис. 3. На цьому ж малюнку приведена формула обчислення визначника коефіцієнтів Розкладанням по i-му стовпцю А. Згадані подробиці призводять до висновку про те, що при вирішенні систем великої розмірності матричних способом краще не користуватися. Можна просто «потонути» в обчисленнях величезного числа алгебраїчних доповнень (якщо не створювати відповідні програми). Чи виправданий це метод, мабуть, лише для систем другого порядку, так як для визначника цього порядку А = а , А = -а , А = -а , А = а . Це легко запам`ятати. А ось далі ... В іншому, це вже на любителя.

Настала пора самого, мабуть, відомого і гранично простого методу Крамера. Придивіться уважніше до вираження для визначення невідомої xi на попередньому кроці. Що вийде, якщо замість елементів стовпця B, поставити елементи i-го стовпця матриці коефіцієнтів А (для наочності це було відображено на малюнку 3). Вийде теорема розкладання для обчислення визначника | A | = по i-му стовпцю матриці А. Тому xi = i / . Визначник матриці коефіцієнтів називають головним, а i допоміжним. Для кожної невідомої допоміжний визначник знаходять за допомогою заміни i-го стовпця головного визначника на стовпець вільних членів. Детально метод Крамера для випадку системи третього порядку представлений на малюнку 4.

Найбільш загальним способом вирішення систем лінійних рівнянь є метод Гаусса. Тут число рівнянь може бути і меншим числа невідомих, m n. Метод вже був детально описаний в тематиці КакProsto.ru. Для того, щоб звернутися до нього, використовуйте перший джерело з додаткових відомостей.